Có \(\Delta ECB\) vuông tại E và có EM là đường trung tuyến

\(\Rightarrow EM=\dfrac{1}{2}BC=BM\) 

\(\Rightarrow\Delta EBM\) cân tại M

\(\Rightarrow\widehat{BEM}=\widehat{MBE}\)

mà \(\widehat{MBE}=\widehat{CAD}\) (vì cùng phụ góc BCA)

\(\Rightarrow\widehat{BEM}=\widehat{CAD}\) 

\(\Rightarrow\)EM là tiếp tuyến của (C1)

CM tương tự đc EM là tiếp tuyến của (C2)

1: góc HEP+góc HKP=180 độ

=>HEPK nội tiếp

2: Xét tứ giác BHCD có

BH//CD

BD//CH

=>BHCD là hbh

=>M là trung điểm của HD

Xét ΔAHD có DO/DA=DM/DH

nên OM/AH=DO/DA=1/2

Gọi M là trung điểm BC ; N là điểm đối xứng với H qua M.

M là trung điểm của BC và HN nên BNCH là hình bình hành

\(\Rightarrow NC//BH\)

Mà \(BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC\)hay AN là đường kính của đường tròn ( O ) 

Dễ thấy OM là đường trung bình \(\Delta AHN\) suy ra \(OM=\frac{1}{2}AH\)

M là trung điểm BC nên OM \(\perp\)BC

Xét \(\Delta AHG\)và \(\Delta OGM\)có :

\(\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\); \(\frac{GM}{GA}=\frac{OM}{HA}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta AGH~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)hay H,G,O thẳng hàng

gọi E,F,T lần lượt là trung điểm của AB,CD,BD

Đường thẳng ME cắt NF tại S

Vì AC = BD \(\Rightarrow EQFP\)là hình thoi \(\Rightarrow EF\perp PQ\)( 1 )

Xét \(\Delta TPQ\)và \(\Delta SEF\)có : \(ME\perp AB,TP//AB\)

Tương tự , \(NF\perp CD;\)\(TQ//CD\)

\(\Rightarrow\Delta TPQ~\Delta SEF\)( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )

\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{TP}{TQ}=\frac{AB}{CD}\)

Mặt khác : \(\Delta MAB~\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng )

Suy ra : \(\frac{ME}{NF}=\frac{SE}{SF}\)\(\Rightarrow EF//MN\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(MN\perp PQ\)

Bài 4:

a, Xét tam giác vuông EBC vuông tại E và  CI = IB

 ⇒ IE = IC = IB ⁽¹⁾ ( vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền)

Xét tam giác vuông BCF vuông tại F và IC =IB 

 ⇒IF = IC = IB ⁽²⁾ (vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền) 

Từ (1) và (2) ta có: 

IE = IF = IB = IC 

Vậy bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn tâm I bán kính bằng \(\dfrac{1}{2}\) BC (đpcm)

b, Xét \(\Delta\)AFC và \(\Delta\)AEB có:

\(\widehat{CAF}\)  chung ; \(\widehat{AFC}\) = \(\widehat{AEB}\) = 90⁰ 

⇒ \(\Delta\)AFC  \(\sim\) \(\Delta\)AEB   (g-g)

⇒ \(\dfrac{AF}{AE}\) = \(\dfrac{AC}{AB}\) (theo định nghĩa hai tam giác đồng dạng)

⇒AB.AF = AC.AE (đpcm)

Xét tam giác vuông AEH vuông tại E và KA = KH 

⇒ KE = KH ( vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền)

⇒\(\Delta\)EKH cân tại K ⇒ \(\widehat{KEH}\) = \(\widehat{EHK}\) 

\(\widehat{EHK}\) = \(\widehat{DHB}\) (vì hai góc đối đỉnh)

 ⇒ \(\widehat{KEH}\) = \(\widehat{DHB}\) ( tc bắc cầu) (3)

Theo (1) ta có: IE = IB ⇒ \(\Delta\) IEB cân tại I 

⇒ \(\widehat{IEB}\) = \(\widehat{IBE}\)  (4)

Cộng vế với vế của (3) và(4)

Ta có: \(\widehat{KEI}\) = \(\widehat{KEH}\) + \(\widehat{IEB}\) =  \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{IBE}\)  = \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{DBH}\)

        Vì tam giác DHB vuông tại D nên \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{DBH}\)  = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰

 ⇒\(\widehat{KEI}\)  = 90⁰

         IE \(\perp\) KE (đpcm)

1) Gọi G là trung điểm AH

Ta có: \(\angle AFH+\angle AEH=90+90=180\Rightarrow AEHF\) nội tiếp

Tương tự \(\Rightarrow CDHE,AFDC\) nội tiếp

Vì \(\Delta AFH\) vuông tại F có G là trung điểm AH \(\Rightarrow GA=GH=GF\)

Tương tự \(\Rightarrow GE=GA=GH\Rightarrow GE=GF=GA=GH\)

\(\Rightarrow G\) là tâm (AEHF)

Ta có: \(\angle FEH=\angle FAH=\angle FCD=\angle HED\)

\(\Rightarrow\angle FED=2\angle FEH=2\angle FAH=\angle FGD\Rightarrow FGED\) nội tiếp

\(\Rightarrow\left(S\right)\) đi qua trung điểm AH

2) EFMN nội tiếp \(\Rightarrow\angle FNM=\angle FEM=\angle FCB\) (BCEF nội tiếp)

\(\Rightarrow MN\parallel BC\) mà \(BC\bot AD\Rightarrow MN\bot AD\)

MDEG nội tiếp \(\Rightarrow\angle MDG=\angle MEG=\angle HEG=\angle GHE=\angle MHD\)

\(\Rightarrow\Delta MHD\) cân tại M có \(MN\bot HD\Rightarrow MN\) là trung trực HD

mà \(T\in MN\Rightarrow\angle MHT=\angle MDT=\angle MED=\angle FEM\)

\(\Rightarrow HT\parallel EF\)